Hall Algebra of the Category of Matroids - Eppolito & Szczesny
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Joint work: Chris Eppolito & Matt Szczesny. 장소: KAIST E6-1 1401호
Hall Algebra of the Category of Matroids
1. Hopf Algebra 배경
Combinatorial object + 연산 → Hopf algebra \(H\)
구성 요소: multiplication \(m\), coproduct \(\Delta\), unit \(I\), counit \(\varepsilon\), antipode \(S\)
예시: \(G\) = 그래프 동형류의 집합 → monoid
$$H = k[G], \quad G \mapsto \sum_{T \subseteq V(G)} G_T \otimes G_{T}$$$$\varepsilon: H \to k, \quad G \mapsto \begin{cases} 1 & |V(G)| = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$2. Combinatorial Results
예시 (w/ Miodrag Iovanov):
- Disconnected graph에 대해 vertex reconstruction conjecture 성립
- Vertex → edge 버전
Matroid-minor Hopf algebra:
$$[M_1] = [M_2] \oplus [M_1 \oplus M_2]$$$$\Delta: M \mapsto \sum_{A \subseteq E_M} M|_A \otimes M/A$$
3. Matroids over Hyperfields
\((V, \mathbb{C})\), \((V, \mathbb{R})\), \((V, k)\)는 서로 다른 combinatorial model을 가짐. Matroids over Hyperfields가 이를 통합.
4. Hall Algebra
\(\mathcal{A}\) = abelian category (예: \(R\)-module의 category)
$$H_\mathcal{A} = \bigoplus_{M \in \text{Iso}(\mathcal{A})} k[M]$$$$[M][N] = \sum_R g^R_{M,N}[R], \quad \text{where } 0 \to N \to R \to M \to 0$$Green’s coproduct — Dyckerhoff & Kapranov 2012:
$$(f \cdot g)([B]) = \sum_{A \subseteq B} f([B/A])\, g([A])$$핵심 아이디어
Hall algebra는 exact sequence를 counting해서 multiplication을 정의. Matroid category에 적용하면 조합론적으로 풍부한 구조가 나온다. Hopf algebra 구조는 그래프·matroid 같은 조합론적 object를 대수적으로 다루는 강력한 framework.
분류:KAIST 세미나